백준 11729 하노이 탑 이동 순서 파이썬 풀이

문제

세 개의 장대가 있고 첫 번째 장대에는 반경이 서로 다른 n개의 원판이 쌓여 있다. 각 원판은 반경이 큰 순서대로 쌓여있다. 이제 수도승들이 다음 규칙에 따라 첫 번째 장대에서 세 번째 장대로 옮기려 한다.

1. 한 번에 한 개의 원판만을 다른 탑으로 옮길 수 있다.
2. 쌓아 놓은 원판은 항상 위의 것이 아래의 것보다 작아야 한다.

이 작업을 수행하는데 필요한 이동 순서를 출력하는 프로그램을 작성하라. 단, 이동 횟수는 최소가 되어야 한다.

아래 그림은 원판이 5개인 경우의 예시이다.

입력

첫째 줄에 첫 번째 장대에 쌓인 원판의 개수 N (1 ≤ N ≤ 20)이 주어진다.

출력

첫째 줄에 옮긴 횟수 K를 출력한다.

두 번째 줄부터 수행 과정을 출력한다. 두 번째 줄부터 K개의 줄에 걸쳐 두 정수 A B를 빈칸을 사이에 두고 출력하는데, 이는 A번째 탑의 가장 위에 있는 원판을 B번째 탑의 가장 위로 옮긴다는 뜻이다.

 

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풀이

 

하노이의 탑은 위의 그림처럼 3단계를 거친다.

 

 

1단계  원리 확인하기

예를 들어 n = 3일 때

빨간색 상자 순서대로 1단계, 2단계,3단계를 나타낸다.

 

첫번째단계의 중간부분을 보면 n-1의 쌓기의 반복이다. 즉 재귀의 개념을 도출할 수 있다.  n  = 2 일 때와 다른점은 

세번째에 위치하는 것이 아니라 두번째에 위치한다는 것이다.

 

따라서, 하노이 탑은  "재귀" + "시작, 도착 위치" 의 2가지 관점에서 생각해볼 수 있다.

 

정답코드

#하노이 탑 이동 순서


def hanoi_tower(n, start, end) :
    if n == 1 :
        print(start, end)
        return
       
    hanoi_tower(n-1, start, 6-start-end) # 1단계
    print(start, end) # 2단계
    hanoi_tower(n-1, 6-start-end, end) # 3단계
    
n = int(input())
print(2**n-1)
hanoi_tower(n, 1, 3)

 

Q) 2**n -1 은 어디서 도출 되었는가?

 

하노이탑의 구조를 점화식으로 나타내면 다음과 같다.

N = N -1 + 1 + N - 1

 

Q) hanoi_tower(n-1,start,6-start-end) 는 hanoi_tower(n-1,start,end)와 무엇이 다른걸까?

 

예를 들어 start 1 end 3 이면 6-start-end 는 2이다. 즉 n = 3 일때 위에서 봤던 1단계를 의미한다.

같은 맥락으로 hanoi_tower(n-1, 6-start-end, end) 를 설명할 수 있다.

 

 

Q)6-start-end 구조가 적용되는 이유는 무엇인가?

 

n = 5 인 경우에서 1단계를 살펴보자

위의 그림에서 보듯 h(4,1,2)가 되어야 한다.

 

그럼 h(4,1,2)를 만들려면 어떻게 해야할까?

 

같은 논리대로라면 h(4,1,2)를 위한 1단계는 아래 그림과 같다.

 

즉 1단계에서 놓이는 n-1의 위치는 start 지점도 end 지점도 아닌 6-start-end 지점이다.

 

그렇기 때문에 우리는 코드에서 6-start-end 를 파라미터로 지정한 것이다.

3단계도 같은 원리이다.